Capítulo 21
CALCULO RÁPIDO

1. Para multiplicar mentalmente un número por un factor dígito (por ejemplo, 27 * 8), se opera empezando por multiplicar no las unidades, como en el cálculo escrito, sino las decenas del multiplicando (20 * 8 = 160), después se multiplican las unidades (7 * 8 = 56) y luego se suman ambos resultados (160 + 56 = 216).
Otros ejemplos:

34 * 7 = 30 * 7 + 4 * 7 = 210 + 28 = 238

47 * 6 = 40 * 6 + 7 * 6 = 240 + 42 = 282

2. Conviene saber de memoria la tabla de multiplicar hasta 19 * 9:


Sabiendo esta tabla se puede multiplicar mentalmente, por ejemplo, 147 * 8, así:

147 * 8 = 140 * 8 + 7 * 8 = 1120 + 56 = 1176.

3. Cuando uno de los números que se multiplica puede descomponerse en factores dígitos, resulta cómodo multiplicar sucesivamente por estos factores. Por ejemplo:


225 * 6 = 225 * 2 * 3 = 450 * 3 + 1350.
Multiplicación por un número de dos cifras

4. La multiplicación por un número de dos cifras se procura simplificar para el cálculo mental reduciéndola a una multiplicación más habitual por un número dígito.
Cuando el multiplicando es dígito, se considera mentalmente que es multiplicador y las operaciones se hacen como se dijo en el § 1. Por ejemplo:

6 * 28 = 28 * 6 = 120 + 48 = 168.

5. Si los dos factores tienen dos cifras, uno de ellos se descompone en decenas y unidades. Por ejemplo:

29 * 12 = 29 * 10 + 29 * 2 = 290 + 58 = 348.

41 * 16 = 41 * 10 + 41 * 6 = 419 + 246 = 656.

(ó 41 * 16 = 16 * 41 = 16 * 40 + 16 - 640 + 16-656)

Resulta más conveniente descomponer en decenas y unidades el factor en que éstas vienen expresadas con números menores.
6. Si el multiplicando o el multiplicador puede descomponerse mentalmente y con facilidad en números dígitos (por ejemplo, 14 = 2 * 7), se aprovecha esta circunstancia para disminuir uno de los factores, aumentando el otro las mismas veces (compárese con el § 3). Por ejemplo:

45 * 14 = 90 * 7 = 630.

Multiplicación y división por 4 y por 8

7. Para multiplicar, mentalmente, un número por 4, se duplica dos veces. Por ejemplo:

112 * 4 = 224 * 2 = 448. 335 * 4 = 670 * 2 = 1340.

8. Para multiplicar, mentalmente, un número por 8, se duplica tres veces. Por ejemplo:

217 * 8 = 434 * 4 = 868 * 2 =1736.

Otro procedimiento de multiplicar mentalmente por 8 consiste en añadirle un cero al multiplicando y réstale el doble de dicho multiplicando (es decir, en definitiva se multiplica por 10 - 2):

217 * 8 = 2170 - 434 = 1736.


Resulta aún más cómodo proceder así:

217 * 8 = 200 * 8 + 17 * 8 = 1600 + 136 = 1736.

9. Para dividir un número por 4 mentalmente, se divide dos veces por dos. Por ejemplo:

76 : 4 = 38 : 2 = 19. 236 : 4 = 118 : 2 = 59.

10. Para dividir un número por 8 mentalmente, se divide tres veces por dos. Por ejemplo:

464 : 8 = 232 : 4 =116 : 2 = 58. 516 : 8 = 258 : 4 = 129 : 2 = 641/2.

Multiplicación por 5 y por 25

11. Para multiplicar, mentalmente, un número por 5, se multiplica por 2 , es decir, se le añade al número un cero y se divide por dos. Por ejemplo:

74 * 5 = 740 : 2 = 370.

243 * 5 = 2430 : 2 =1215.

Cuando el número que se multiplica por 5 es par, resulta más cómodo dividir primeramente por 2 y añadir después un cero a la cantidad obtenida. Por ejemplo:

74 * 5 = 74/2 * 10 = 370.

12. Para multiplicar un número por 25 mentalmente, se multiplica por 100/4, es decir, si el número es múltiplo de cuatro, se divide por 4 y al cociente se le añaden dos ceros. Por ejemplo:

72 * 25 = 72/4 * 100 = 1800.

Si al dividir el número por 4 queda resto,



cuando el resto es 1 2 3

se le añade al cociente 25 50 75


La base, en que funda este procedimiento queda aclarada por el hecho de que 100 : 4 = 25; 200 : 4 = 50; y 300 : 4 = 75.
Multiplicación por 1 1/2, por 1 1/4, por 2 1/2 y por 3/4

13. Para multiplicar, mentalmente, un número por 1 1/4, se le añade al multiplicando su mitad. Por ejemplo:

34 * 1 1/2 = 34 + 17 = 51. 22 * 1 1/2 = 23 + 11 1/2 = 34 1/2 (ó 34,5).

14. Para multiplicar, mentalmente, un número por 1 1/4, se le añade al multiplicando su cuarta parte. Por ejemplo:

48 * 1 1/4 = 48 + 12 = 60. 58 * 1/4 * 58 + 14 1/2 = 72 1/2 (6 72,5).

15. Para multiplicar un número por 21/a mentalmente, al número duplicado se la añade la mitad del multiplicando. Por ejemplo:

18 * 2 1/2 = 36 + 9 = 45. 39 * 2 1/2 = 78 + 19 1/2 = 97 1/2 (6 97,5).

Otro procedimiento consiste en multiplicar por 5 y dividir por dos: 18 * 21/2=90 : 2 = 45.
16. Para multiplicar un número por 3/4 mentalmente (es decir, para hallar las 3/4 partes de dicho número), se multiplica por 1 1/2 y se divide por dos. Por ejemplo:

30 * 4 = 30 215 - 22 2 (ó 22 5).

Una variante de este procedimiento consiste en que al multiplicando se le resta su cuarta parte o a la mitad del multiplicando se le añade la mitad de esta mitad.
Multiplicación por 15, por 125, por 75

17. La multiplicación por 15, se sustituye por la multiplicación por 10 y por 1 1/2 (porque 10 * 1 1/2 = 15).
Por ejemplo:

18 * 15 = 18 * 1 1/2 * 10 = 270

54 * 15 = 45 * 1 1/2 * 10 = 675

18. La multiplicación por 125 se sustituye por la multiplicación por 100 y por 1 1/4 (porque 100 * 1 1/4 = 125). Por ejemplo:

26 * 125 = 26 * 1 1/4 * 100 = 2600 + 650 = 3250

47 * 125 = 47 * 100 * 1 1/4 = 4700 + 4700/4 = 4700 + 1175 = 5875

19. La multiplicación por 75 se sustituye por una multiplicación por 100 y por 3/4 (porque 100 * 3/4 = 75). Por ejemplo:

18 * 75 = 18 * 100 * 3/4 = 1800 * 3/4 = (1800 + 900)/2 = 1350

Observación: Algunos de los ejemplos citados también pueden resolverse fácilmente por el Procedimiento 6.

18 * 15 = 90 * 3 = 270

26 * 125 = 130 * 25 = 3250

Multiplicación por 9 y por 11

20. Para multiplicar mentalmente, un número por 9, se le añade al número un cero y se le resta el multiplicando. Por ejemplo:

62 * 9 = 620 - 62 = 600 - 42 = 558

73 * 9 = 730 - 73 = 700 - 43 =657

21. Para multiplicar un número por 11 mentalmente, se le añade al número un cero y se le suma el multiplicando. Por ejemplo:

87 * 11 = 870 + 87 = 957

División por 5, por 1 1/2 y por 15

22. Para dividir mentalmente, un número por 5, se separa con una coma la última cifra del doble del número. Por ejemplo:

68 / 5 = 136 /10 = 13,6

237 / 5 = 474 / 10 = 47,4

23. Para dividir un número por 1 1/2 mentalmente, se divide por 3 el doble del número. Por ejemplo:

36 : 1 1/2 = 72 : 3 = 24.

53 : 1 1/2 =106 : 3 = 35 1/3.

24. Para dividir un número por 15 mentalmente, se divide por 30 el doble de dicho número. Por ejemplo:

240 : 15 = 480 : 30 = 48 : 3 =16. 462 : 15 = 924 : 30 = 3024/30 = 304/5 = 30,8 (6 924 : 30 - 308 : 10 = 30,8).

Elevación al cuadrado

25. Para elevar al cuadrado un número terminado en 5 (por ejemplo, 85) se multiplica el número de decenas (8) por sí mismo más una unidad (8 * 9 = 72) y se le añade 25 (en nuestro ejemplo se obtiene 7225). Otros ejemplos:

25 ² ; 2 * 3 = 6; 625.

45 ² ; 4 * 5 = 20; 2025.

145 ² ; 14 * 15 = 210; 21025;

Este procedimiento se deduce de la fórmula

(10 x + 5 ) ² = 100 x ² + 100 x + 25 = 100 x ( x + 1) + 25.

26. El procedimiento que hemos indicado puede aplicarse también a las fracciones decimales que terminan en la cifra 5:

8,5 ² = 72,25; 14,5 ² = 210,25;

0,35 ² = 0,1225; etc.

27. Como 0,5 = 1/2 y 0,25 = 1/4, el método del Procedimiento 25. puede utilizarse también para elevar al cuadrado los números que terminan en la fracción 1/2:

( 8 1/2) ² = 72 1/4

(14 1/2) ² = 210 1/4, etc,

28. Cuando la elevación al cuadrado se hace mentalmente, suele ser cómodo utilizar la fórmula:

(a ± b) ² =a ² +b ² ± 2 ab.

Por ejemplo:

41 ² = 40 ² + 1 + 2 * 40 = 1601 + 88 = 1681.

69 ² = 70 ² + 1 - 2 * 70 = 4901 - 140 = 4761.

36 ² =(35 + 1 ) ² = 1225 + 1 + 2 * 35 = 1296.

Este procedimiento resulta cómodo cuando los números terminan en 1, 4, 6 y 9.
Cálculos por la fórmula (a + b)(a - b) = a ² - b ²

29. Supongamos que hay que hacer mentalmente la multiplicación 52 * 48.
Nos figuramos estos factores en la forma (50 + 2) * (50 - 2) y aplicamos la fórmula que figura en el encabezamiento:

(50 + 2) * (50 - 2) - 50 ² - 2 ² = 2496.

De un modo semejante se procede en general en todos los casos en que uno de los factores resulta cómodo representarlo en forma de suma de dos números, y el otro, en forma de diferencia de estos mismos números.

69 * 71 = (70 - 1) * (70 + 1) = 4899.

33 * 27 = (30 + 3) * (30 - 3) = 891.

53 * 57 = (55 - 2) * (55 + 2) = 3021.

84 * 86 = (85 - 1) * (85 + 1) = 7224.

30. Este mismo procedimiento puede utilizarse también eficazmente para los cálculos del tipo siguiente:

7 1/2 * 6 1/2 = ( 7 + 1/2) * ( 7 - 1/2) = 48 3/4

11 3/4 * 12 1/4 = (12 - 1/2) * (12 + 1/4) = 143 15/16.

37 * 6 = 37 x 3 * 2 = 222.

37 * 9 = 37 * 3 * 3 = 333.

37 * 12 = 37 * 3 * 4 = 444.

37 * 15 = 37 * 3 * 4 = 555, etc,