Presentación
Prefacio
La quinta operación
El idioma del álgebra
En ayuda de la aritmética
Las ecuaciones de Diofanto
La sexta operación
Ecuaciones de segundo grado
La magnitud mayor y la menor
Progresiones
La séptima operación
Capítulo Octavo
PROGRESIONES
Contenido:
1. La progresión más antigua
2. Algebra en papel cuadriculado
3. E1 riego de la huerta
4. La comida para las gallinas
5. Brigada de cavadores
6. Las manzanas
7. La compra del caballo
8. La recompensa del soldado
1. La progresión más antigua
Problema
El problema de progresiones más antiguo no es el de la recompensa al inventor del ajedrez, que tiene ya más de dos mil años, sino otro mucho más viejo, repartición del pan, registrado en el célebre papiro egipcio de Rind. Este papiro, hallado por Rind a fines del siglo pasado, fue escrito unos 2 000 años antes de nuestra era y constituye una copia de otra obra matemática aún más remota que data seguramente del tercer milenio antes de nuestra era. Entre los problemas aritméticos, algebraicos y geométricos que figuran en dicho documento aparece el que transmitimos en traducción libre.
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| Figura 33 |
Entre cinco personas se repartieron cien medidas de trigo, de tal suerte que la segunda recibió más que la primera tanto como le correspondió a la tercera más que a la segunda, a la cuarta más que a la tercera y a la quinta más que a la cuarta. Además, las dos primeras obtuvieron siete veces menos que las tres restantes. ¿Cuánto correspondió a cada una?
Solución
Es evidente que las cantidades de trigo distribuidas entre los cinco participantes en el reparto constituyen una progresión aritmética creciente. Supongamos que el primer miembro sea x, y la diferencia, y.
En ese caso tendremos:
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Parte de la 1ª |
x |
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2ª |
x+y |
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3ª |
x + 2y |
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4ª |
x + 3y |
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5ª |
x + 4y |
De acuerdo con las premisas del problema establecemos estas dos ecuaciones:
7[x+(x+y)]=(x+2y)+(x + 3y)+(x+4y)
Después de su simplificación, la primera ecuación será
y la segunda:
Al resolver este sistema resultará
Por consiguiente, el trigo debe ser repartido en las siguientes proporciones:
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2. Algebra en papel cuadriculado
A pesar de que este problema de progresiones tiene ya 50 siglos de antigüedad, en la práctica escolar, la progresión apareció hace relativamente poco tiempo. Aunque en el manual de Magnitski, publicado hace doscientos años y empleado en Rusia durante medio siglo como texto en las escuelas, se trata de progresiones, no se dan fórmulas generales que liguen las magnitudes que figuran en las mismas. Por esa razón, el propio autor sale airoso de esos problemas sólo a costa de grandes esfuerzos. Y, sin embargo, la fórmula de la suma de los miembros de la progresión aritmética puede deducirse por un medio sencillo y gráfico, empleando para ello el papel cuadriculado. En éste, cualquier progresión aritmética puede expresarse con una figura escalonada.
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| Figura 34 |
Para determinar la suma de los miembros completamos el diseño hasta formar el rectángulo ABGE y obtendremos dos figuras iguales: ABDC y DGEC. La superficie de cada una representa la suma de los miembros de nuestra progresión. De ahí que la doble suma de los miembros es igual a la superficie del rectángulo ABGE, es decir:
Pero AC + CE expresa la suma de los miembros 1° y 5° de la progresión; AB representa el número de miembros de la progresión, por eso, el duplo de la suma.
o
2
3. El riego de la huerta
Problema
En una huerta hay 30 caballones; cada uno de ellos tiene 16 m de largo y 2,5 m de ancho. Durante el riego, el hortelano lleva los cubos de agua desde el pozo situado a 14 metros del extremo de la huerta (fig. 35) y da la vuelta al caballón por el surco. El agua que carga cada vez le sirve para regar un solo caballón.
¿Cuál es la longitud del camino que recorre el hortelano para regar toda la huerta? El camino comienza y termina junto al pozo.
Solución
Para regar el primer caballón, el hortelano ha de recorrer un camino igual a
Para regar el segundo recorre
Cada nuevo caballón exige andar 5 metros más que para ir al anterior. Por ello tendremos la siguiente progresión:
La suma de sus miembros será
Para regar toda la huerta, el hortelano necesita recorrer 4,125 km,
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4. La comida para las gallinas
Problema
Para 31 gallinas se ha preparado una cantidad de reservas de comida a base de un decalitro semanas para cada una. Esto se hacía en el supuesto de que el número de gallinas permaneciera invariable. Pero, debido a que cada semana disminuía en una el número de aves, la comida preparada duró doble tiempo del proyectado.
¿Qué cantidad de comida prepararon como reserva y para cuánto tiempo fue calculada?
Solución
Supongamos que la reserva fue de x decalitros de comida para y semanas. Como el alimento se calculó para 31 gallinas a razón de 1 decalitro por cabeza a la semana, resulta que
En la primera semana fueron consumidos el 31 Dl; en la segunda, 30; en la tercera, 29, y así sucesivamente hasta la última semana del plazo doble, cuando se consumió
La reserva, por consiguiente, sería de
La suma de 2 y miembros de la progresión, el primero de la cual es 31, y el último 31-2 y + l, será igual a
Y como y no puede ser igual a cero, entonces tenemos derecho a dividir por y ambos miembros de la igualdad, con lo que tendremos
de donde
Fueron preparados 496 Dl de comida para 16 semanas.
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5. Brigada de cavadores
Problema
Un grupo de alumnos de la secundaria se hizo cargo de construir una zanja en la huerta de la escuela y para eso formaron una brigada. Si hubiera trabajado toda la brigada, la zanja habría sido cavada en 24 horas. Mas el trabajo fue comenzado por un solo miembro de la brigada. Poco después se le unió otro y más tarde un tercero, al cabo del mismo tiempo se incorporó un cuarto, y así sucesivamente, hasta el último. Cuando se hizo el balance del trabajo efectuado, resultó que el primero había invertido en el trabajo 11 veces más de tiempo que el último.
¿Cuánto trabajó el último?
Solución
Supongamos que el último miembro de la brigada trabajó x horas; siendo así, el primero habrá trabajado 11 x horas. Prosigamos. Si el número de miembros de la brigada es y , el número global de horas de trabajo se determina corno la suma de y miembros de una progresión decreciente, cuyo primer término es 11 x, y el último, x , es decir
Sabemos también que la brigada, compuesta por y personas, trabajando simultáneamente hubiera terminado la zanja en 24 horas, lo que quiere decir que para realizar ese trabajo hacen falta 24 y horas de trabajo. Por tanto
Como y no es igual a 0, la ecuación puede ser simplificada por ese factor, después de lo cual obtendremos:
Por lo tanto, el último miembro de la brigada trabajó 4 horas.
Hemos contestado a la pregunta del problema, mas si quisiéramos saber el número de obreros con que cuenta la brigada no podríamos determinarlo, aunque en la ecuación figuraba este último con la y . Para resolver esta cuestión no se cuenta con datos suficientes.
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6. Las manzanas
Problema
Un hortelano vendió al primero de sus compradores la mitad de las manzanas de su jardín más media manzana; al segundo, la mitad de las restantes más media; al tercero, la mitad de cuantas quedaron más media, etc. El séptimo comprador adquirió la mitad de las manzanas que quedaban más media, agotando con ello la mercancía ¿Cuántas manzanas tenía el jardinero?
Solución
Si el número inicial de manzanas era x, el primer comprador adquirió
el segundo
el tercero
el séptimo
Tenemos la ecuación
Hallada la suma de los miembros de la progresión geométrica comprendida en los paréntesis, resultará:
El hortelano tenía 127 manzanas.
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7. La compra del caballo
Problema
En la aritmética de Magnitski encontramos un divertido problema que damos a conocer sin sujetarnos al lenguaje del original:
Cierta persona vendió su caballo por 156 rublos. Mas el comprador se arrepintió de haberlo adquirido y devolvió el caballo diciendo:
- No me interesa comprar el caballo por ese precio, pues no lo merece.
El vendedor le propuso nuevas condiciones:
- Si te parece elevado ese precio, compra sólo los clavos de las herraduras y conseguirás de balde el caballo. En cada herradura hay 6 clavos; por el primer clavo me pagas tan sólo ¼ de kopek; por el segundo, ½; por el tercero, 1 kopek, etc.
El comprador, deslumbrado por las nuevas condiciones, en su afán de tener gratis un caballo, aceptó la propuesta, creyendo que tendría que pagar por los clavos no más de 10 rublos.
¿Cuál fue el importe de la compra?
Solución
Por los 24 clavos hubo de pagar:
cuya suma será igual a
Es decir, cerca de 42.000 rublos. En tales condiciones no da pena entregar el caballo de balde.
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8. La recompensa del soldado
Problema
De otro antiguo manual ruso de matemáticas, que lleva el ampuloso título de Curso completo de matemáticas puras elaborado por Efim Voitiajovski, cadete de artillería y profesor particular, para uso y provecho de la juventud y cuantos se ejercitan en matemáticas (1795), copio el siguiente problema.
"Un soldado veterano recibe como recompensa 1 kopek por la primera herida sufrida; 2, por la segunda; 4, por la tercera, etc. Cuando se hizo el recuento, el soldado resultó recompensado con 655 rublos 35 kopeks. Deséase saber el número de heridas".
Solución
Planteamos la ecuación
de donde obtendremos:
resultado que obtenemos fácilmente por tanteo.
Con este generoso sistema de recompensa, el soldado debía ser herido 16 veces, quedando además vivo, para obtener 655 rublos y 35 kopeks.
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